Teilbarkeit

Teilbarkeit: Wenn Zahlen aufgehen

Stell dir vor, du hast 12 Äpfel und möchtest sie gerecht unter 4 Freunden aufteilen. Jeder bekommt dann 3 Äpfel – ohne dass etwas übrig bleibt. In der Mathematik sagen wir dazu: 12 ist durch 4 teilbar.

Was bedeutet Teilbarkeit?

Teilbarkeit bedeutet, dass eine Zahl vollständig durch eine andere Zahl geteilt werden kann, ohne dass ein Rest übrig bleibt. Die Zahl, durch die geteilt wird, nennen wir Teiler.

• Beispiel: 15 ist durch 3 teilbar, weil 15 geteilt durch 3 genau 5 ergibt. Hier ist 3 der Teiler.

Warum ist Teilbarkeit wichtig?

• Alltag: Beim Backen, beim Teilen von Süßigkeiten oder beim Aufteilen von Aufgaben im Haushalt ist Teilbarkeit praktisch.
• Mathematik: Teilbarkeit ist die Grundlage für viele mathematische Bereiche wie:
  • Bruchrechnung: Jeder Bruch stellt im Grunde einen Teil einer Zahl dar.
  • Prozentrechnung: Prozente sind nichts anderes als Brüche, ausgedrückt in Hundertsteln.
  • Gleichungen: Viele Gleichungen lassen sich mit Hilfe der Teilbarkeit vereinfachen.

Teilbarkeitsregeln – Die schnellen Helfer

Um schnell zu erkennen, ob eine Zahl durch eine bestimmte Zahl teilbar ist, gibt es sogenannte Teilbarkeitsregeln. Diese erleichtern uns die Überprüfung:

• Teilbar durch 2: Alle geraden Zahlen (die auf 0, 2, 4, 6 oder 8 enden) sind durch 2 teilbar.
• Teilbar durch 5: Alle Zahlen, die auf 0 oder 5 enden, sind durch 5 teilbar.
• Teilbar durch 10: Alle Zahlen, die auf 0 enden, sind durch 10 teilbar.
• Teilbar durch 3 und 9: Eine Zahl ist durch 3 oder 9 teilbar, wenn ihre Quersumme (die Summe aller Ziffern) durch 3 oder 9 teilbar ist. Beispiel: Die Quersumme von 123 ist 1+2+3=6. Da 6 durch 3 teilbar ist, ist auch 123 durch 3 teilbar.
• Teilbar durch 4: Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn ihre letzten beiden Ziffern eine durch 4 teilbare Zahl bilden (z.B. 16, 24, 32).
• Teilbar durch 6: Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie sowohl durch 2 als auch durch 3 teilbar ist.

Größter gemeinsamer Teiler (ggT) und kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

• Größter gemeinsamer Teiler (ggT): Der ggT zweier Zahlen ist die größte Zahl, durch die beide Zahlen ohne Rest teilbar sind.
• Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV): Das kgV zweier Zahlen ist die kleinste Zahl, die von beiden Zahlen ohne Rest geteilt wird.

Warum sind ggT und kgV wichtig?

• Bruchrechnung: Beim Kürzen von Brüchen sucht man den ggT von Zähler und Nenner.
• Textaufgaben: Beim Lösen von Textaufgaben, bei denen es um das Finden gemeinsamer Zeitpunkte oder Mengen geht, ist das kgV oft hilfreich.

Weitere Teilbarkeitsregeln

Es gibt noch viele weitere Teilbarkeitsregeln für andere Zahlen, die jedoch weniger häufig verwendet werden.

Teilbarkeit und Primzahlen

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist (z.B. 2, 3, 5, 7). Jede natürliche Zahl größer als 1 kann als Produkt von Primzahlen dargestellt werden. Dies wird Primfaktorzerlegung genannt.

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